لفائدة الطلبة : حلول تمارين فى حساب المثلثات
حلول تمارين
فى
حساب المثلثات
تمرين رقم : (1)
ظاهـ = 1/3
ظاى = 1/7
ظا2هـ = ( 2 ظاهـ ) / ( 1 - ظا^2 هـ ) = 3/4
ظا( 2هـ + ى ) = [ ظا2هـ + ظاى ] / [ 1 - ظا2هـ ظاى ]
= [ 3/4 + 1/7 ] / [ 1 - ( 3/4 )( 1/7 )] = 1
( 2هـ + ى ) = ط/4 أو 5 ط/4
( 2هـ + ى ) تقع فى الربع الأول أو الربع الثالث
جاى = 1/5جذر2 ، جتاى = 7/5جذر2
جاهـ = 1/جذر10 ، جتاهـ = 3/جذر10
جا2هـ = 2 جاهـ جتا2هـ = 3/5
جتا2هـ = 4/5
جا( 2هـ + ى ) = جا2هـ جتاى + جتا2هـ جاى = 1/جذر2
( 2هـ + ى ) = ط/4 أو 3 ط/4
( 2هـ + ى ) تقع فى الربع الأول أو الربع الثانى
إذن :
( 2هـ + ى ) = ط/4 وتقع فى الربع الأول
أثبت أن
ظا 3 س = ظا س × ظا ( 60 - س ) × ظا ( 60 + س )
ومن ذلك أثبت أن
ظا 50 ظا 60 ظا 70 = ظا 80
قام الابن سامح بإثبات المطلوب الأول
بالنسبة للمطلوب الثانى :
حيث أن : ظا(60 - س)* ظا(60 + س) = ظا3 س / ظاس
ظا50 ظا70 = ظا(60 - 10 )* ظا(60 + 10) = ظا30 / ظا10
ظا50 ظا60 ظا70 = ظا30 ظا60/ ظا10 = 1 / ظا10
ظا80 = ظا(90 - 10) = ظتا10 = 1 / ظا10
ظا 50 ظا 60 ظا 70 = ظا 80
تمرين رقم (3)
أثبت أن جتا^2 س+ جتا^2(أ+س)-2جتا أ جتا س جتا (أ+س) تأخذ القيمة نفسها لجميع قيم س المختلفة.
تمرين رقم (4)
أثبت أن :
ظا^-1 ( 120 / 119 ) - ظا^-1 ( 1/ 239 ) = ط/4
نفرض أن :
ظاهـ = 120/119
ظاى = 1/239
ظا(هـ - ى) = (ظاهـ - ظاى)/(1 + ظاهـ ظاى)
= [(120/119) - (1/239)]/[1 + (120/119)(1/239)]
= [(120*239) - 119]/[(119*239) + 120]
= [120*239) - 119 ]/[120*239 - 239 + 120]
= [120*239) - 119]/[120*239 - 119] = 1
هـ - ى = ط/4
ظا^-1 ( 120 / 119 ) - ظا^-1 ( 1/ 239 ) = ط/4
تمرين رقم (5)
أثبت أن :
ظا س ظا 2 س ظا 3 س = ظا 3 س - ظا 2 س - ظا س
ظا3س = ظا(2س + س) = [ظا2س + ظاس]/[1 - ظا2س ظاس]
ظا3س - ظا2س - ظاس = [ظا2س + ظاس]/[1 - ظا2س ظاس]- ظا2س - ظاس
= [1/(1 - ظا2س ظاس)]*[ظا2س + ظاس - ظا2س + ظا^2(2س)ظاس - ظاس + ظا2س ظا^2(س)]
= [ظا^2(2س)ظاس + ظا2س ظا^2(س)]/(1 - ظا2س ظاس)
= ظا2س ظاس (ظا2س + ظاس)/(1 - ظا2س ظاس)
= ظا3س ظا2س ظاس
حيث :
[ظا2س + ظاس]/[1 - ظا2س ظاس] = ظا3س
حلول تمارين
فى
حساب المثلثات
تمرين رقم : (1)
ظاهـ = 1/3
ظاى = 1/7
ظا2هـ = ( 2 ظاهـ ) / ( 1 - ظا^2 هـ ) = 3/4
ظا( 2هـ + ى ) = [ ظا2هـ + ظاى ] / [ 1 - ظا2هـ ظاى ]
= [ 3/4 + 1/7 ] / [ 1 - ( 3/4 )( 1/7 )] = 1
( 2هـ + ى ) = ط/4 أو 5 ط/4
( 2هـ + ى ) تقع فى الربع الأول أو الربع الثالث
جاى = 1/5جذر2 ، جتاى = 7/5جذر2
جاهـ = 1/جذر10 ، جتاهـ = 3/جذر10
جا2هـ = 2 جاهـ جتا2هـ = 3/5
جتا2هـ = 4/5
جا( 2هـ + ى ) = جا2هـ جتاى + جتا2هـ جاى = 1/جذر2
( 2هـ + ى ) = ط/4 أو 3 ط/4
( 2هـ + ى ) تقع فى الربع الأول أو الربع الثانى
إذن :
( 2هـ + ى ) = ط/4 وتقع فى الربع الأول
تمرين رقم (2)
أثبت أن
ظا 3 س = ظا س × ظا ( 60 - س ) × ظا ( 60 + س )
ومن ذلك أثبت أن
ظا 50 ظا 60 ظا 70 = ظا 80
قام الابن سامح بإثبات المطلوب الأول
بالنسبة للمطلوب الثانى :
حيث أن : ظا(60 - س)* ظا(60 + س) = ظا3 س / ظاس
ظا50 ظا70 = ظا(60 - 10 )* ظا(60 + 10) = ظا30 / ظا10
ظا50 ظا60 ظا70 = ظا30 ظا60/ ظا10 = 1 / ظا10
ظا80 = ظا(90 - 10) = ظتا10 = 1 / ظا10
ظا 50 ظا 60 ظا 70 = ظا 80
تمرين رقم (3)
أثبت أن جتا^2 س+ جتا^2(أ+س)-2جتا أ جتا س جتا (أ+س) تأخذ القيمة نفسها لجميع قيم س المختلفة.
تمرين رقم (4)
أثبت أن :
ظا^-1 ( 120 / 119 ) - ظا^-1 ( 1/ 239 ) = ط/4
نفرض أن :
ظاهـ = 120/119
ظاى = 1/239
ظا(هـ - ى) = (ظاهـ - ظاى)/(1 + ظاهـ ظاى)
= [(120/119) - (1/239)]/[1 + (120/119)(1/239)]
= [(120*239) - 119]/[(119*239) + 120]
= [120*239) - 119 ]/[120*239 - 239 + 120]
= [120*239) - 119]/[120*239 - 119] = 1
هـ - ى = ط/4
ظا^-1 ( 120 / 119 ) - ظا^-1 ( 1/ 239 ) = ط/4
تمرين رقم (5)
أثبت أن :
ظا س ظا 2 س ظا 3 س = ظا 3 س - ظا 2 س - ظا س
ظا3س = ظا(2س + س) = [ظا2س + ظاس]/[1 - ظا2س ظاس]
ظا3س - ظا2س - ظاس = [ظا2س + ظاس]/[1 - ظا2س ظاس]- ظا2س - ظاس
= [1/(1 - ظا2س ظاس)]*[ظا2س + ظاس - ظا2س + ظا^2(2س)ظاس - ظاس + ظا2س ظا^2(س)]
= [ظا^2(2س)ظاس + ظا2س ظا^2(س)]/(1 - ظا2س ظاس)
= ظا2س ظاس (ظا2س + ظاس)/(1 - ظا2س ظاس)
= ظا3س ظا2س ظاس
حيث :
[ظا2س + ظاس]/[1 - ظا2س ظاس] = ظا3س